在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

\color {blue} {\textbf {双曲函数的定义}} 1、 双曲正弦. \sinh x = \frac {e^ {x} - e^ {-x}} {2} \\ 2、 双曲余弦. \cosh x = \frac {e^ {x} + e^ {-x}} {2} \\ 3、 双曲正切. \sinh x =\frac {\sinh} {\cosh} = \frac {e^ {x} - e^ {-x}} {e^ {x} + e^ {-x}} \\ 4、 双曲余切. \coth x = \frac {\cosh x} {\sinh x} =\frac {e^ {x} + e^ {-x}} {e^ {x} - e^ {-x}} \\ 5、 双曲正割.

在 数学 中， 双曲函数 是一类与常见的 三角函数 （也叫圆函数）类似的函数。 最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x} …

$\text{cosh}\ x\ \text{cosh}\ y = \frac12(\text{cosh}(x + y) + \text{cosh} (x - y))$ $\text{sinh}\ x\ \text{cosh}\ y = \frac12(\text{sinh}(x + y) + \text{sinh} (x - y))$ Expression of hyperbolic functions in terms of others

三角函数有反三角函数，就是三角函数的逆函数，双曲函数也有，下面是sinh、cosh、tanh的反函数图像： 并且我们是可以求出各个反双曲函数的对数表示式的：

双曲三角函数与三角函数是数学上最为常见的运算公式，这篇文章主要讲述一些关于双曲三角函数以及三角函数的泰勒展开式。 双曲三角函数,我们由定义很容易知道 \sinh{x},\cosh{x} 的展开式: \sinh{x}=\frac{e^{n}-e^…

y=coth x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y||y|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。

cosh函数关于y轴对称，即对于任意实数x，都有cosh (-x) = cosh (x)。 cosh函数的导数为sinh函数，即cosh’ (x) = sinh (x)。 其中，C为积分常数。 悬链线是悬挂在两点之间的柔性绳索的形状。 悬链线的方程可以表示为： 其中，a是悬链线的参数。 cosh函数可用于求解热传导方程。 例如，在一个长条形物体中，温度分布方程可以表示为： 其中，T是温度，t是时间，α是热扩散率。 cosh函数也可用于求解声学和电磁学中的波方程。 例如，在声波传播中，声压方程可以表示为： 其 …

2024年8月27日 · 具体来说，cosh函数描述的是一条双曲线上下两支的点的y坐标值。 双曲线的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中cosh(y) = (e^y + e^-y)/2，这里的e是自然对数的底数。