\sinh (x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \\ \cosh (x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh \sinh y \\ \tanh (x+y) = \frac{\tan x +\tanh y}{1 +\tanh x \tanh y} \\ 四、倍元公式 \sinh 2 x=2 \sinh x \cosh x \qquad \qquad \sinh 3 x=3 \sinh x+4 \sinh^{3} x \\ \cosh 2 x=\sinh^{2} x+\cosh^{2} x \qquad \qquad\cosh 3 x=4 \cosh^{3} x-3 \cosh x \\

In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

双曲正弦函数的定义式为：sinhx= [e^x-e^ (-x)]/2.

正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。 餘弦 同樣是從 y軸 到 曲線 的半 弦 （圖中的 餘弦 是 長方形 的另一條 邊 ）。 正切 同樣是過 x軸 上 單位點 （1,0）在曲線上的 切線 到終邊的長度。

If x = sinh y, then y = sinh-1 a is called the inverse hyperbolic sine of x. Similarly we define the other inverse hyperbolic functions. The inverse hyperbolic functions are multiple-valued and as in the case of inverse trigonometric functions we restrict ourselves to principal values for which they can be considered as single-valued.

通过观察图像，我们发现 y=\sinh x 为奇函数， y=\cosh x 为偶函数，这也揭示了双曲函数与三角函数一定意义上的相似性。 接下来，让我们从上帝视角看一看这对孪生兄弟。

Just replace $y$ with $-y$. Then use the fact that $\sinh(-y)=-\sinh(y)$. This can be proven using the definition involving exponents are even using the geometrical definition.

Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个 \sinh 的积时，包括 \coth ^2\left ( x \right) ,\tanh ^2\left ( x \right) ,\mathrm {csch} ^2\left ( x \right) ,\sinh \left ( x \right) \cdot \sinh \left ( y \right) ，则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。

函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。 y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。 [1] y=cosh x，定义域：R，值域： [1,+∞)，偶函数，函数图像是 悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。 y=tanh x，定义域：R，值域： (-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被 …

The two basic hyperbolic functions are "sinh" and "cosh": sinh (x) = ex − e-x 2. cosh (x) = ex + e-x 2. They use the natural exponential function ex. And are not the same as sin (x) and cos (x), but a little bit similar: One of the interesting uses of Hyperbolic Functions is the curve made by suspended cables or chains.