In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。 与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。

三角函数有反三角函数，就是三角函数的逆函数，双曲函数也有，下面是sinh、cosh、tanh的反函数图像： 并且我们是可以求出各个反双曲函数的对数表示式的：

If x = sinh y, then y = sinh-1 a is called the inverse hyperbolic sine of x. Similarly we define the other inverse hyperbolic functions. The inverse hyperbolic functions are multiple-valued and as in the case of inverse trigonometric functions we restrict ourselves to principal values for which they can be considered as single-valued.

參數 t 不是圓 角 而是 雙曲角，它表示在 x 軸和連接原點和雙曲線上的點（ , ）的直線之間的面積的兩倍。 在 直角雙曲線 （方程 = ）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於 雙曲角 u 的 雙曲線扇形 （紅色）。 這個三角形的邊分別是 雙曲函數 中 和 的 倍。 在18世紀， 約翰·海因里希·蘭伯特 引入雙曲函數 [2]，並計算了 雙曲幾何 中 雙曲三角形 的面積 [3]。 自然對數 函數是在 直角雙曲線 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線 …

在 数学 中， 双曲函数 是一类与常见的 三角函数 （也叫圆函数）类似的函数。 最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x} …

参数 t 是双曲角,它表示由原点到双曲线上的点的矢径与 x 轴的夹角（弧度）,主值区间为 （-π/4,π/4）,其绝对值等于双曲扇形面积 S(比单位面积 ab=a∧2=1∧2) 的两倍。

The two basic hyperbolic functions are "sinh" and "cosh": Hyperbolic Sine: sinh(x) = e x − e-x 2 (pronounced "shine") Hyperbolic Cosine: cosh(x) = e x + e-x 2 (pronounced "cosh") They use the natural exponential function e x. And are not the same as sin(x) and cos(x), but a little bit similar: sinh vs sin. cosh vs cos. Catenary

\sinh \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{\cosh x-1}{2}}\left(\begin{array}{l} x>0, \qquad \text{取正号} \\ x<0,\qquad \text{取负号} \end{array} \right)\\ \cosh \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cosh x+1}{2}} \\ \tanh \frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{\sinh x}=\frac{\sinh x}{\cosh x+1} \\ \coth \frac{x}{2}=\frac{\sinh x}{\cosh x-1}=\frac{\cosh x+1}{\sinh x} \\

sinh 、 cosh 和 tanh （就是双曲正弦、双曲余弦和双曲正切） sinh x = e x − e −x 2. cosh x = e x + e −x 2. tanh x = sinh x cosh x = e x − e −x e x + e −x. 导数. 这些函数的导数是： d dx sinh x = cosh x. d dx cosh x = sinh x. d dx tanh x = 1 − tanh 2 x