Derive $\sin{ix}=i\sinh{x}$ from $(5)$. What is $\sin{i}$? $$\cos{x}=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\quad\text{and}\quad\sin{x}=\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)\tag 5$$

欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式，它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，从形式上也十分简洁优美： e^ {ix}=\cos x+i\sin x. 用 -x 替换掉 x，得到. e^ {-ix}=\cos x-i\sin x. …

cosh(ix)=cosx,sinh(ix)=isinx表明了什么？ 在知乎上查到x^2a^-2-y^2b^-2=1的参数方程是x=cosh(t)，y=sinh(t)，t=2S但如果围成的面积存在复平面的话。 上面的等式可…

y=sinh x y=cosh x y=tanh x. 通过观察图像，我们发现 y=\sinh x 为奇函数， y=\cosh x 为偶函数，这也揭示了双曲函数与三角函数一定意义上的相似性。 接下来，让我们从上帝视角看一看 …

If x = sinh y, then y = sinh-1 a is called the inverse hyperbolic sine of x. Similarly we define the other inverse hyperbolic functions. The inverse hyperbolic functions are multiple-valued and as …

定义：展开式中所有 x 的偶数次(包括0次)幂项的和为 \cosh{x} ，所有 x 的奇数次幂项的和为 \sinh{x} ，那么就是： e^x=\cosh{x}+\sinh{x} , 注意偶数次幂和和即 \cosh{x} 是 x 的偶函数，即 …

Given that $\tan(y) =\sinh(x)$ show that $\sin(y) = \pm \tanh(x) $. I know: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ $\tanh\theta=\dfrac{\sinh\theta}{\cosh\theta}$ Also, …

The two basic hyperbolic functions are "sinh" and "cosh": Hyperbolic Sine: sinh(x) = e x − e-x 2 (pronounced "shine") Hyperbolic Cosine: cosh(x) = e x + e-x 2 (pronounced "cosh") They use …

\[\sin ix = i\sinh x\] ， \[\cos ix = \cosh x\] \[\tan ix = i\tanh x\] ， \[\cot ix = - i\coth x\] \[\sec ix = {\mathop{\rm sech}\nolimits} x\] ， \[\csc ix = - i{\mathop{\rm csch}\nolimits} x\]

series of sinh(i x) at x = inf; logplot |sinh(i x)| from x=-5 to 5; third derivative sinh(i x) intercepts sinh(i x) table d^n/dx^n (sinh(i x)) for n = 1 ... 4