(\cosh x + \sinh x)^{n} = \cosh (nx) + \sinh (nx) \qquad (n \in \mathbb{N}) \\ \color{blue}{\textbf{反双曲函数的定义}} \sinh ^{-1} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1}) \quad(-\infty,+\infty) \\ \cosh ^{-1} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})\quad [1,+\infty) \\ \\ \tanh ^{-1} x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \quad(-1,1) \\

在 数学 中， 双曲函数 是一类与常见的 三角函数 （也叫圆函数）类似的函数。 最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x} …

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双曲正弦函数在 数学语言 上一般记作 sinh ，也可简写成sh。 与 三角函数 一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、 双曲正切 、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和 双曲余弦函数 是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出 双曲正切 ...

In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个 \sinh 的积时，包括 \coth ^2\left ( x \right) ,\tanh ^2\left ( x \right) ,\mathrm {csch} ^2\left ( x \right) ,\sinh \left ( x \right) \cdot \sinh \left ( y \right) ，则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。

公式3 \sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\cosh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\\ \mathrm{csch}^{-1}x=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right),\mathrm{sech}^{-1}x=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right),\mathrm{coth}^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}\\ 公式4 \cosh^{2}x-\sinh^{2}x=1\\ 1-\tanh^{2}x=\mathrm ...

$\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ $-\infty . x \infty$ $\cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ $x \geq l$ [$\cosh^{-1} x > 0$ is principal value] $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 - x)}$ $- 1 x 1$

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2015年12月25日 · 反双曲正弦函数（sinh^-1）是双曲正弦函数（sinh）的反函数，用于求解方程 sinh(x) = y 中的 x 值。 它的数学定义为： ``` sinh ^ - 1(y) = ln(y + sqrt(y^2 + 1)) ``` 其中，ln 表示自然对数。