Euler substitution is a method for evaluating integrals of the form (, + +), where is a rational function of and + +. In such cases, the integrand can be changed to a rational function by using the substitutions of Euler.

欧拉代换是求积分时常用的一种代换，有三种情形，三种欧拉代换都是有理代换，在相应情况下分别使用它们，都能使被积函数有理化。

在在 \int G\left ( x,\sqrt {ax^ {2}+bx+c}\right) dx 这种类型的积分中，如果根号内的二次式没有等根，则它不能用有理表达式替代，这时可使用欧拉替换法。 1．第一种替换 ( a>0 的情况). 令： \sqrt {ax^ {2}+bx+c}=t-\sqrt {a}x . 两边平方，并消去 ax^2 项后，得到： bx+c=t^ {2}-2\sqrt {a}\cdot tx . 则： x=\dfrac {t^ {2}-c} {2\sqrt {a}\cdot t+b}，\sqrt {ax^ {2}+bx+c}=\dfrac {\sqrt {a}\cdot t^ {2}+bt+c\sqrt {a}} {2\sqrt {a}\cdot t+b} .

欧拉替换法 适用于形如： \int R\left ( x,\sqrt {ax^ {2}+bx+c} \right)dx 的 不定积分. 其中要求 a≠0,\Delta=b^ {2}-4ac≠0. 它可以使被积函数 有理化， 接下来将分为三种情况介绍欧拉替换法. 如果 a\gt0. 做代换 \sqrt {ax^ {2}+bx+c} =t\pm\sqrt {a}x. 其中 t 为新变量. 如果 c\gt0. 做代换 \sqrt {ax^ {2}+bx+c}=xt\pm\sqrt {c} 其中 t 为新变量. 如果 \Delta=b^ {2}-4ac\gt0. 做代换 \sqrt {ax^ {2}+bx+c}=t\left ( x-\alpha \right)

Euler 代换是一种直接把被积表达式 有理化 的方法. 分下列三种情形. 「说明」 下面所考虑的三种情况,已包含了所有的可能.因若 Euler 第三代换不满足,即二次三项式无实根,则必 b^2-4ac<0,作为被开方数, ax^2+bx+c 应恒取正值,故 a>0,又必同时 c>0,否则 b^2-4ac\geq 0.这就是说,不属于 Euler 第三代换,必属于 Euler 第一代换. 设 a>0,令. \sqrt {ax^2+bx+c}=t-\sqrt a x \\ \sqrt {ax^2+bx+c}=\sqrt a x+t \\ 可将被积表达式有理化. 设 c>0,令. \sqrt {ax^2+bx+c}=xt-\sqrt c \\

2023年4月10日 · All the Euler substitutions allow both the original variable of integration $x$ and $\sqrt{ax^2+bx+c}$ to be expressed rationally in terms of the new variable $t$. The first two Euler substitutions permit the reduction of \eqref{eq1} to the integral of a rational function over any interval on which $\sqrt{ax^2+bx+c}$ takes only real values.

2023年9月4日 · Euler substitution is a technique for evaluating primitives of the form: $\ds \map R {x, \sqrt {a x^2 + b x + c} } \rd x$ where $R$ is a rational function of $x$ and $\sqrt {a x^2 + b x + c}$.

2016年11月10日 · The phrase "Euler substitutions" refers to three substitutions used for evaluating certain integrals involving powers of x along with powers of the radical a+bx+cx2. These substitutions are briefly reviewed in Section 2.25 (p 92) of Gradshteyn and Ryzhik [GR7]. Wiki suggests that these substitutions

2023年8月6日 · Substitute $t={x + \sqrt{x^2 + x + 1}}$ Then transform the integral (change of variable) in terms of $t$. You'll then get a not-so-difficult integral which you can easily solve.

2021年12月14日 · Generalizations The substitutions of Euler can be generalized by allowing the use of imaginary numbers. For example, in the integral $\int \frac{d x}{\sqrt{-x^{2}+c}}$, the substitution $\sqrt{-x^{2}+c}=\pm i x+t$ can be used. Extensions to the complex numbers allows us to use every type of Euler substitution regardless of the coefficients on ...