In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

$\text{cosh}\ 2x = \text{cosh}^2x + \text{sinh}^2x= 2 \text{cosh}^2x - 1 = 1 + 2 \text{sinh}^2x$ $\text{tanh}\ 2x = \frac{2\text{tanh}\ x}{1 + \text{tanh}^2x}$ Half angle formulas

最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x}-e^ {-x}} {e^ {x}+e^ {-x}}}= {\frac {e^ {2x}-1} {e^ {2x}+1}}.}

最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为反双曲函数。

2025年3月9日 · Let $\cosh t$ be the hyperbolic cosine, where $t$ is real. Let $\laptrans f$ denote the Laplace transform of the real function $f$. Then: $\laptrans {\cosh a t} = \dfrac s {s^2 - a^2}$ where $a \in \R_{>0}$ is constant, and $\map \Re s > a$. Proof 1

Laplace e^at and e^-at: • Laplace transform: e^at and e^-at Let us calculate the transformation of the hyperbolic sine and cosine! We are going to use a special trick to find the condition for it...

2023年11月5日 · Here we focus on how to find the Laplace of cosh at, the hyperbolic cosine function. The Laplace transform of cosh at is denoted by L{cosh at} and its formula is given by L{cosh at} = s/(s 2 -a 2 ).

2024年6月5日 · 双曲余弦一般以cosh表示 [1] ，在部分较旧的文献中有时会以 表示。 [2] 双曲余弦可以用来描述悬链线，即两端固定自然下垂的绳索，因此可以用于进行悬索桥的工程计算。

\sinh^{-1} x \pm \sinh^{-x} y = \sinh^{-1} \left( \sinh^{-1}x \sqrt{1+y^2} \pm y \sqrt{1 +x^2} \right) \\ \cosh ^{-1} x \pm \cosh ^{-1} y = \cosh^{-1} \left[ xy \pm \sqrt{ (x^2 -1) (y^2 -1) } \right] \\ \tanh ^{ …

三角函数有反三角函数，就是三角函数的逆函数，双曲函数也有，下面是sinh、cosh、tanh的反函数图像： 并且我们是可以求出各个反双曲函数的对数表示式的：