In mathematics, hyperbolic functions are analogues of the ordinary trigonometric functions, but defined using the hyperbola rather than the circle. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the unit hyperbola.

最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为反双曲函数。

最基本的双曲函数是 雙曲正弦 函数 和 雙曲餘弦 函数 ，从它们可以导出 双曲正切 函数 等，其推导也类似于三角函数的推导。 双曲函数的反函数称为 反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做 双曲角。 双曲函数出现于某些重要的线性 微分方程 的解中，譬如說定义 悬链线 和 拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為 [1]： {\displaystyle \tanh x= {\frac {\sinh x} {\cosh x}}= {\frac {e^ {x}-e^ {-x}} {e^ {x}+e^ {-x}}}= {\frac {e^ {2x}-1} {e^ {2x}+1}}.}

The two basic hyperbolic functions are "sinh" and "cosh": Hyperbolic Sine: sinh(x) = e x − e-x 2 (pronounced "shine") Hyperbolic Cosine: cosh(x) = e x + e-x 2 (pronounced "cosh") They use the natural exponential function e x. And are not the same as sin(x) and cos(x), but a little bit similar: sinh vs sin. cosh vs cos. Catenary

解释一下就是：我们先得到一个三角恒等式，然后把里面的sin或者cos全部转为sinh或cosh，如果在公式中出现两个sin相乘，那么把前面的符号改成负号。 上面也给了一个例子，是关于cos 2A的二倍角公式的，大家可以很清楚的看到就是根据Osborn's Rule来进行转化的 ...

$\text{cosh}\ x\ \text{cosh}\ y = \frac12(\text{cosh}(x + y) + \text{cosh} (x - y))$ $\text{sinh}\ x\ \text{cosh}\ y = \frac12(\text{sinh}(x + y) + \text{sinh} (x - y))$ Expression of hyperbolic functions in terms of others

(\cosh x + \sinh x)^{n} = \cosh (nx) + \sinh (nx) \qquad (n \in \mathbb{N}) \\ \color{blue}{\textbf{反双曲函数的定义}} \sinh ^{-1} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1}) \quad(-\infty,+\infty) \\ \cosh ^{-1} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})\quad [1,+\infty) \\ \\ \tanh ^{-1} x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \quad(-1,1) \\

2024年4月20日 · Cos (cosine) is basic trigonometric function used to determine the ratio between the adjacent side and hypotenuse of right triangle, while cosh (hyperbolic cosine) relates to the sum of the exponential functions e^x and e^-x, used in hyperbolic geometry.

双曲余弦函数记作cosh，也可简写为ch。 从原点发出的射线与单位双曲线（方程：）相交于点（cosh a,sinh a)。 这里的a为射线、双曲线和x轴围成的面积的两倍。 对于双曲线上位于x轴下方的点，这个面积被认为是负值。 其中，cosh a就是a的双曲余弦函数。 经过复杂的计算可以推出： 。 双曲余弦函数的定义域为 。 [1]值域为 [1, )。 当x=0时，取到最小值1。 双曲余弦函数在定义域内是偶函数。 [1]可以证明。 取x的负值。 又得： 根据加法交换律，可得出 。 根据偶函数的定 …

sinh 、 cosh 和 tanh （就是双曲正弦、双曲余弦和双曲正切） sinh x = e x − e −x 2. cosh x = e x + e −x 2. tanh x = sinh x cosh x = e x − e −x e x + e −x. 导数. 这些函数的导数是： d dx sinh x = cosh x. d dx cosh x = sinh x. d dx tanh x = 1 − tanh 2 x